성공확률이 $\theta$ 인 베르누이 시도를 $N$번 하는 경우를 생각해 보자. 가장 운이 좋을 때에는 $N$번 모두 성공할 것이고 가장 운이 나쁜 경우에는 한 번도 성공하지 못할 겻이다. $N$번 중 성공한 횟수를 확률 변수 $X$ 라고 한다면 $X$의 값은 0 부터 $N$ 까지의 정수 중 하나가 될 것이다.
이러한 확률 변수를 이항 분포(binomial distribution)를 따르는 확률 변수라고 하며 다음과 같이 표시한다.
$$ X \sim \text{Bin}(x;N,\theta) $$이항 확률 분포를 수식으로 묘사해 보자.
0 또는 1이 나오는 베르누이 확률 분포를 따르는 확률 변수 $Y$를 가정한다.
$$ Y \sim \text{Bern}(y;\theta) $$이 확률 변수의 $N$개의 샘플을 $y_1, y_2, \cdots, y_N$라고 하자. 이 값은 모두 0(실패) 아니면 1(성공) 이라는 값을 가지기 때문에 $N$번 중 성공한 횟수는 $N$개의 샘플 값의 총합이다.
$$ X = \sum_{i=1}^N y_i $$이항 확률 분포를 수식으로 쓰면 다음과 같다.
$$ \text{Bin}(x;N,\theta) = \binom N x \theta^x(1-\theta)^{N-x} $$이 식에서 $()$ 기호와 $!$ 기호는 각각 조합(combination)과 팩토리얼(factorial)을 뜻하면 다음과 같이 정의한다.
$$ \binom N x =\dfrac{N!}{x!(N-x)!} $$$$ N! = N\cdot (N-1) \cdots 2 \cdot 1 $$Scipy의 stats 서브 패키지에 있는 binom 클래스는 이항 분포 클래스이다. n 인수와 p 인수를 사용하여 모수를 설정한다
In [1]:
N = 10
theta = 0.6
rv = sp.stats.binom(N, theta)
rv
Out[1]:
pmf 메서드를 사용하면 확률 질량 함수(pmf: probability mass function)를 계산할 수 있다.
In [2]:
xx = np.arange(N + 1)
plt.bar(xx, rv.pmf(xx), align="center")
plt.ylabel("P(x)")
plt.title("pmf of binomial distribution")
plt.show()
시뮬레이션을 하려면 rvs 메서드를 사용한다.
In [3]:
np.random.seed(0)
x = rv.rvs(100)
x
Out[3]:
In [4]:
sns.countplot(x)
plt.show()
이론적인 확률 분포와 샘플의 확률 분포를 동시에 나타내려면 다음과 같은 코드를 사용한다.
In [5]:
y = np.bincount(x, minlength=N)/float(len(x))
df = pd.DataFrame({"theoretic": rv.pmf(xx), "simulation": y}).stack()
df = df.reset_index()
df.columns = ["value", "type", "ratio"]
df.pivot("value", "type", "ratio")
Out[5]:
In [6]:
sns.barplot(x="value", y="ratio", hue="type", data=df)
plt.show()
이항 분포의 기댓값과 분산은 각각 다음과 같다.
(증명)
$$ \text{E}[X] = \text{E} \left[ \sum_{i=1}^N \text{Bern}_i \right] = \sum_{i=1}^N \text{E}[ \text{Bern}_i ] = N\theta $$여기에서 $\text{Bern}_i$는 $i$번째 시도의 결과로 나온 숫자로써 서로 독립인 베르누이 분포이다.
(증명)
$$ \text{Var}[X] = \text{Var} \left[ \sum_{i=1}^N \text{Bern}_i \right] = \sum_{i=1}^N \text{Var}[ \text{Bern}_i ] = N\theta(1-\theta)$$베르누이 확률 분포의 모수가 다음과 같을 경우에 각각 샘플을 생성한 후 기댓값과 분산을 구하고 앞의 예제와 같이 확률 밀도 함수와 비교한 카운트 플롯을 그린다.
샘플의 갯수가 10개인 경우와 1000개인 경우에 대해 각각 위의 계산을 한다.